秦汉至隋唐五代时期
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（前221－960年）
　　【提要】我国古代主要计算工具—筹算简单、形象、具体，但占用面积大，计算速度慢。因此，秦汉数学家们开始对算具进行改革。东汉徐岳所撰《数术记遗》里记载了十四种算具及算法，其中一种就是“珠算”。珠算出现以后，魏晋南北朝数学家们继续对筹算算法进行改革。及至唐代，将乘除法由三层算式改革为在一层中运算，推动了珠算的进一步发展。
　　秦汉魏晋南北朝至隋唐五代，是我国珠算的形成时期。
　　随着生产不断向前发展，需要计算的数目越来越大，计算已不能适应社会日益发展的需要。生活在黄河、长江流域的祖先，利用盛产的竹子制成竹签，摆成不同的形式，来表示数字，称为“算筹”。据史料推断，我国在春秋时代，就已经用“算筹”进行计算了。现在大家熟知的“运筹帷幄”便是与筹算有关的一个成语。公元202年，垓下一战后刘邦灭掉项羽，建立了汉朝，做了开国皇帝，在他的临时都城雒阳设宴庆功。席间，他对张良、萧何、韩信大加赞赏：“运筹策帷帐之中，决胜于千里之外，我不如张良。”后一年，刘邦大封功臣，封张良留侯。有些将领不服，认为张良从未临阵作战，没有什么功劳，刘邦又说：“运筹策帷帐中，决胜千里外，张良是有功之臣啊！”后来“运筹帷幄，决胜千里”就成了成语。
　　“算”和“筹”的部首都是竹字头，这说明算筹通常是竹制的，但是也有一些木制、骨制、象牙制、铁制、玉制等。在明朝中期以前，我国古代数学上的许多伟大成就都是通过筹算实现的。
　　由于筹算占用面积大、计算速度慢，当时的数学家们就开始对算具进行改革。东汉徐岳所撰的《数术记遗》一书中，便记载了十四种算具及算法，其中有一种就是“珠算”。《数术记遗》是最早出现“珠算”二字的古算书。
　　徐岳曾跟东汉末年数学家、天文学家刘洪学习算术，而刘洪是汉高祖刘邦的十二世玄孙。他精于天文历算，在撰写著名的天文著作《乾象历》期间，他广收门徒，传授他对天文历算研究所取得的新知识，其中就有徐岳。刘洪对徐岳特别信任，为了完成大量的天文数据计算，首先向徐岳传授了筹算的起源和发展。徐岳基本掌握了筹算法，帮助刘洪最后完成《乾象历》的编著，做了大量的计算工作。在实践中，徐岳感到筹算繁而慢，就对老师刘洪说：“老师，您教给我的筹算法费时间，占地方大，速度还不够快，您还有更好的方法吗？”刘洪对徐岳所提问题，经过深思后说：“我曾在天目山中游学，遇到一位隐者，但世人都不知道他的姓名，其自号为天目先生。我也曾问过像你提出的问题，天目先生告诉了十四种算法，即积算、太一、两仪、三才、五行、八卦、九宫、运筹、了知、成数、把头、龟算、珠算、计算。”
　　徐岳据此撰著了《数术记遗》一书，书中总结了从东汉到南北朝四百年间我国算具发展历史，对我们研究中国珠算史有着很大的参考价值，它是我国现存最早的著录“珠算”一词的古算书。
　　《记遗》中关于“珠算”的原文是：“珠算，控带四时，经纬三才。”注文是：“刻板为三分，其上下二分以停游珠，中间一分以定算位。位各五珠，上一珠与下四珠色别，其上别色之珠当五，其下四珠，珠各当一，至下四珠所领，故云控带四时。其珠游于三方之中，故云经纬三才也。”
　　由于《数术记遗》中对十四种算法介绍得极为简单，没有附图，注文也不够详备，令珠算史研究者们对各种算法、各种算器，尤其是对珠算，提出了不同的说明和推想图，主要有以下几种：
　　对《数术记遗》中几种算法首先加以研究的是日本数学家三上义夫博士，他在《中国数学的特色》一书中认为：“珠算是在板上分刻为上中下三段，上下两段放置游珠，中间一段记一、十、百、千等位，上下段珠的颜色不同，但上段一颗珠表示五，下段一颗珠表示一，另外，从字面上看，认为这个板上是无轴是比较恰当的。”
　　中国数学家许莼舫先生在《中国算术故事》一书中认为“珠算板是无柱有槽、算珠放在槽里的。
　　余介石教授在《关于算盘起源的臆说》一文中说：“珠算可以叫槽算盘，是有三条槽的板，上下二条存放不同颜色的珠，上槽内的珠表五，下槽内的珠表一，移入中槽（不能拨），可以表各数。
　　日本珠算史家户谷清一在《论<数术记遗>的算盘》一文中认为“道”意味着表现数的位置，“分”意味着摆放几颗珠的位置，并推定珠算器是有轴的，贯有五颗珠，当五珠一颗，当一珠四颗，。
　　我国珠算史家李培业教授在《关于我国古珠算的想像图》一文中认为，珠算器是有柱贯珠的。
　　那么，《数术记遗》中的“珠算”究竟是什么形式，华印椿先生在《中国珠算史稿》中引用了余介石教授的话：“只能就原文作合理的解释，很难做出确切不移的论断，这也是今后需要珠算史研究者继续深入探讨的问题。
　　尽管《数术记遗》的作者真伪问题未成定论，书中的“珠算”究竟是何种形式，仍需要探讨，但这种“珠算”是上一下四珠，上一珠当五，下一珠当一，下珠满五用一颗上珠表示，个位满十则向十位进一，与现今的算盘完全相同，这是肯定的。所以它是现代有梁穿档算盘的前身。《数术记遗》它在中国数学史，尤其是珠算史上的地位是一致公认的。
　　在唐朝数学教育制度中，规定学生要对《数术记遗》、《三等数》两本进行“帖读”，所谓帖读就是随便提出书中的一两处字句，要求考生按这提示的字句继续背诵下去。宋朝人在公元十三世纪刊刻唐朝数学家李淳风等人奉命注释的《算经十书》时，祖冲之的《缀术》早已失传，便以《数术记遗》代之。所以现在流传下来的《算经十书》为《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》、《海岛算经》、《五经算术》、《辑古算经》和《数术记记遗》。这十部算经显示了汉唐千余年间中国数学高度发展的水平，这些书中所记的许多算法为筹算、珠算所沿用，直到现在。
　　排在《算经十书》之首的是我国最早的数学著作，同时也是一部天文学著作《周髀算经》。公元前221年，秦始皇统一了中国，不久 汉朝取代了秦朝，社会生产力有很大的发展，随着生产力的不断提高，各种科学技术也不断地促进数学的发展。譬如农业生产要求能够比较准确地预告农业季节，这就必然促使人们去进行历法和天文学的研究，但是历法和天文学是离不开计算，离不开数学的，于是数学也因 而发展起来了。《周髀算经》便是当时结集周秦以来适应天文学上的 需要逐渐积累起来的科学研究成果而写成的，主要阐明当时的盖天说和四分历法。在数学方面，书中使用了相当复杂的分数算法和开平方法，在现存文献中，它是最早引用勾股定理的著作，是了解中国古代数学和天文学异常宝贵的资料。
　　《周髀算经》中虽然包含着相当高的数学知识，但它毕竟主要讲述天文学方面的知识，还不是一部数学方面的专门著作。流传到现在的，我国最早的一部数学专门著作是《九章算术》。《九章算术》是从周秦以至汉代中国古代数学发展的一个总结性的，同时也是一部代表性的著作，它标志着自周秦以来逐渐发展起来的我国古代数学，经过汉代更进一步的发展，已经逐渐形成了完整的体系。此书采用问题集的形式，搜集了二百四十六道与生产相联系的应用题及其解法。这种问题集的形式，对这以后的中国古代数学，当然包括珠算在内，有很大的影响。例如明代程大位的《算法统宗》一书总的编排，就是按照《九章算术》的形式进行的。《九章算术》按照问题的性质和解法，把全书分为九章，即方田、粟米、衰分、少广、商功、匀输、盈不足、方程、勾股，内容丰富多彩，而且大多和实际生活密切联系。但是这部杰出的著作的作者是谁呢？它的成书年代又是在何时呢？现在都还得不出确切的回答。据现有的资料来推断，它至迟是公元后一世纪（东汉中期）时候的著作，而且是积累了许多世纪数学家们的智慧，经过许多人的增删修改而最后写定的。后世的数学家，有许多人都是从为《九章》作注的途径来展开自己的研究工作的，最著名的便是魏晋时期的刘徽和唐朝的李淳风等的注释工作。《九章算术》还曾流传到朝鲜和日本，对朝鲜和日本古代数学的发展有很大的影响。1957年苏联把《九章算术》全文译成俄文出版了。所以说，《九章算术》也是世界古代数学著作之一。
　　古算书中，除《周髀算经》、《九章算术》以外，当以《孙子算经》为最古，其作者和成书年代尚不清楚，全书共分上、中、下三卷。卷上叙述筹算乘除法，中卷列举筹分数法和开平方法，是了解中国古代筹算的很好的资料 ，可以补充《九章算术》的不足，下卷则收集了一些算术名题，如已知头数和足数的“鸡兔同笼”问题和一次同余式题，即“今有物不知其数，三三数之胜二，五五数之胜二，七七数之胜二，问物几何。”这是“物不知其数”问题，也叫“孙子问题”，它在我国民间流传颇广，有“秦王暗点兵”、“韩信点兵”、“鬼谷算”等名称。宋代的一本笔记中还曾把它的解法写成四句诗：“三岁孩儿七十稀，五留廿一事尤奇；七度上元（15）生相合，寒食清明（105）便可知。”此书在《张丘建算经》和《夏侯阳算经》中都曾提到过，所以推算此书应在南北朝以前写成。
　　唐朝时规定的《算经十书》中的《夏侯阳算经》原本大约是公元四世纪的著作，但是从现传本《夏侯阳算经》的内容来看，其中包括很多公元四世纪以后才可能出现的材料，这就存在两种可能，一种可能是《夏侯阳算经》早已失传，而现传本是后人编辑的另一部算书，只是因为全书开头一句引用了“夏侯阳曰”，因而全书就以误传误地称为《夏侯阳算经》。另外一种可能是原本《夏侯阳算经》在流传的过程中，辗转传抄，抄录的人陆续把自己当代的一些问题，插入、啬了公元四世纪到八世纪的许多材料内容，现传本共三卷，有八十三个问题，特别值得一提的是《夏侯阳算经》中明显地表现出对筹算制度进行改良的倾向，这种倾向从唐朝末年时起，经过五代十国、宋元， 一直不曾间断，在促成珠算的产生方面有着巨大的作用。
　　成书于《孙子算经》和《夏侯阳算经》之后的《张丘建算经》，共三卷，书中有等差极数问题、二次方程问题和不定方程问题等，其下卷最后一题便是有名的 “百鸡问题”，在后来的许多数学著作中都曾收有与“百鸡问题”类似的问题，在古代印度和中世纪伊斯兰国家的数学书中也可以看到类似的问题。
　　在《算经十书》中的作者中，现在有史可考的只有魏晋时的数学家刘徽、甄鸾和王孝通。
　　根据史料记载，刘徽是魏晋时代的淄乡人，也就是今天山东临淄或淄川一带人，他在中国古代数学史上最大的贡献，莫过于对《九章算术》所作的九卷注文。通过刘徽的注释，《九章算术》变得更有条理了，我们知道，《九章算术》中只是列出了一般的算法，却很少有任何解释说明，刘徽的注释，刚好补充了这个不足之处，同时刘徽在为《九章算术》注释的过程中，做了许多创造性的工作，其中包括开创了计算圆周率的新方法----割圆术，并得出了∏=3.1416的数学成就，首先应用极限概念来解决数学问题，系统发展了应用图形和模型等几何直观的方法来处理名种数学问题。此外，刘徽还发展十进制记数的法则，开创了十进小数利用的先河，刘徽更提出了正负数的精确概念等等，从流传至今的经过刘徽注释之后，便没有更大改动的《九章算术》来看，刘徽不愧为一个伟大的数学家。
　　除对《九章算术》作注释外，刘徽还有一部著作流传至今，这就是《算经十书》之一的《海岛算经》。这部书的内容是关于“重差术”（即有关测量方法）的论述。本来并不是一部独立的著作，而是刘徽为了解释重差术而附在《九章算术》中《勾股》一章之后的一些问题，到了公元七世纪唐朝初年的时候，这一部分才被人从《九章算术》中抽取出来，成为一部独立的著作，因为第一题是关于测量海岛的高和远的问题，所以就把它叫做《海岛算经》。这部书到了清朝初年，社会上已不见流传了，现在我们一般所见的《海岛算经》是清初编辑《四库全书》时戴震由《永乐大典》中重新抄录出来的，现传本《海岛算经》只剩下九个问题，这部书显示了我国古代测量数学的进步和发展。
　　与刘徽同时期的甄鸾，是中山郡无极人，今天的河北无极县人，曾任司隶校尉，汉中郡守。信佛教，曾撰《笑道论》三卷宗，北周武帝天和年间，造“天和历” 颁发使用，他注释的古算书有《周髀算经》、《数术记遗》、《三等数》等，其中他对《数术记遗》做了比较详细的注释，这对算法和算具历史的研究，包括珠算历史，做出了特殊贡献。甄鸾所著，现有传本的算书，便是在《算经十书》中占有两席之地的《五曹算经》和《五经算术》。
　　《五曹算经》是为各类官员编写的，也可以说是一部应用算术课本。所谓五曹指的是五类官员，即田曹、兵曹、集曹、仓曹、金曹，分别叙述田亩面积、军队配置及给养运输、集市交换贸易、粮仓容积及粮食税收、钱财货币及丝织物买卖等五种类型的计算问题，特别是其中的“兵曹”内容是我国军事数学方面最早的比较系统的一些记载。
　　《五经算术》共二卷，甄鸾对《尚书》、《诗经》、《周易》、《周礼》、以及《论语》、《左传》等古籍中有关数字计算之处，均进行了解释。
　　在《算经十书》中唯一的一本唐朝时期著作是《辑古算经》，作者是唐初著名数学家王孝通。王孝通不仅是一位数学家，而且也是一位天文学家，曾任当时国家天文台的官员（太史丞），据史料记载，他曾以算历博士的身份，两次对傅仁均所编“戊寅元历”提出了批语，他于公元七世纪初期完成了《辑古算经》。全书提出了关于建造堤防、勾股形及从各种棱台的体积，求其边长的算法等二十个问题，其中解决上宽下窄、前高后低的不规则形状的堤坝工程问题，是书中最精彩的部分。
　　 《算经十书》较为完整地展示了中国古代数学，经过汉唐间近千余年的发展，逐渐形成的一个完整体系，这些算书中所记载的许多算法，经过不断传承与改革，在算理算法上对后人发明创造现代式有梁穿档算盘起到了巨大的推动作用。