明朝时期
　　　　　　　　　　　　　　　　　　（1368－1644年）
　　【提要】明代前期商业贸易兴旺，珠算应用越来越广泛，对珠算的研究也随之深入。这一时期珠算算法日趋完善，不但四则运算形成了以口诀为指导的独特运算体系，而且在算盘上进行开平方、立方运算的技术也已相当成熟。及至明代中后期，珠算最终取代筹算而成为社会主要计算方法。
　　到了明代，由于手工业空前发达，商品贸易兴旺，日益繁重和复杂的计算任务，需要人们计算得又快又简便，由此应用珠算的人越来越多，珠算和筹算的地位逐渐发生了变化。筹算所占领域逐步缩小，最后终于让位于珠算。当然这一过程是逐步演变的，这一点我们从明代文献中有关珠算的史料中可以看出。
　　例如明初期（1371年）刊印的《魁本对相四言杂字》，是一本看图识字的儿童读物，四字一句，图文对照，书中刊有一幅算盘图，图上画的是梁上二珠、梁下五珠的十档算盘，这是至今发现最早绘有算盘图的图书。在儿童看图识字的读物中绘有算盘图，这说明算盘在明初是民间通行的算具，而不是陌生的新事物，如果你细看一下算盘图的下面，便会发现书中在画算盘图的同时，又绘有算子，也就是算筹，这便说明算筹在明初社会上还存在，也就是说，当时算盘和算筹同时存在。
　　在《魁本对相四言杂字》刊行后五十年，著有制造算盘规格的木工用书《鲁班木经》刊行，其卷二著录算盘的规格是：“一尺二寸长，四寸二分大，框六分厚，九分大，起碗底线。上二子，一寸一分；下五子，三寸一分。长短大小，看子而做。”因为古人著书均不用标点，因此有珠算研究者这样断句理解的：“算盘式：一尺二寸长，四寸二分大。框六分厚，九分大，起碗底，线上二子，一寸一分；下五子，三寸一分。长短大小，看子而做。”因此对《鲁班木经》的算盘是否有横梁，有种种推测：有说中间是一根细木片，还有说中间是一根线，姜克华先生还据此制做了一把可以使用的“鲁班算盘”，并撰文进行论证。华印椿先生撰写《中国珠算史稿》时提出：“上下珠无颜色区别，必然混淆不清；中间是细木片的说法，因没有历史图片证明，也觉欠妥，其后刊行的《魁本对相四言杂字》中已绘有梁算盘，其后刊行的《鲁班木经》中算盘反而是线，使人不可理解。最近有不少珠算史研究者在《鲁班木经》所描述房屋结构的内容中，发现有“线”字的专门术语有多处，如“荷叶线”、“棋盘线”、“一字线”、“剑脊线”等等。因此推断“碗底线”是木工师傅的专门术语。所以《鲁班木经》中关于算盘规格的原文句读应为“算盘式：一尺二寸长，四寸二分大。框六分厚，九分大，起碗底线。上二子，一寸一分；下五子，三寸一分。长短大小，看子而做。”华印椿先生因之说：“多年积疑可以消除了。”
　　在这一时期，算盘图不仅在儿童读物和木工专用书中出现，在文学著作中也已出现。画家杜堇于1465---1487年间绘制的明代文学巨著《水浒》人物全图中的秦明、蒋敬图，绰号神算子的蒋敬，手托一架十五档上二下五七珠大算盘，石桌上放有笔、砚、纸、书等物。当时已有制造标准算盘的要求，儿童读物和文学作品中也出现了算盘图，可见珠算已广为流行。与此同时期的算书却仍不提珠算，如1450年刊行的吴敬著的《九章详注比类算法大全》一书，已开始著录珠算加减乘除口诀，但仍没有明言珠算，不过可以看出珠算已逐渐占据上风了。
　 　到了明代中后期，文学作品中则只提珠算，不言筹算了，如冯梦龙著《警世通言》（1574—1646）第22卷：“宋金……会写会算，…… 别船上交易，也有央他去拿算盘，登帐簿。”《醒世恒言》（1574—1606）第十七卷：“房中木桌上，更无别物，单单一个算盘，九本帐簿。” 明末张炳睿《山居咏和》：“想着那曲江外冢满渠，午桥庄草满居，件件是伤心景物，拨不就算盘子加减乘除。”
　　后期的算书都已完全采用珠算，并在书中绘有算盘图。这是明代1573年徐心鲁订正的《盘珠算法》，上面有与口诀配套的盘式图。这是中国算书中最早出现的算盘图。另外，明代柯尚迁的《数学通轨》、程大位的《算法统宗》、《算法纂要》等珠算书均绘有算盘图，较为有意思的是在程大位《算法统宗》卷十三绘有一幅师生问难图，此图一师二生，左生手执一架九档算盘，每档为上三下七珠的十珠算盘，其中有两档上二下六珠，这种盘式尚属首见，明代是否通用过这种十珠算盘，还有待考证。
　　这些史料证明，明代中后期的珠算，已完全取代筹算了，而在这一演变过程中，有许多杰出的数学家和珠算家做出了不可磨灭的贡献。
　　中国筹算的加减不用口诀，而珠算却有口诀的，那首先著录珠算加减口诀的是谁呢？他就是明代数学家吴敬。吴敬，字信民，号主一翁，杭州仁和县人，他因善算，曾担任过几次浙江布政使司的幕府，掌管全省田赋和税收的会计工作，他费了十多年的心血，于1450年完成杰作《九章详注比类算法大全》十卷，这部著作汇编了一千多个应用问题的解法，其中首次著录加减法口诀，并创造了先十法，书中的“挨位商除法”、“金蝉脱壳”、“铺地锦”都是最早的记载。在他的书中，间接地引用了《九章算术》，并且把他自己搜罗的应用题按照“九章”名义分类，他这样有意识地提倡古代经典数学，对后来数学著作起到了规范作用。如程大位的《直指算法统宗》就是以“九章名义为应用题的分类标帜的。
　　如果说吴敬在《九间详注比类算法大全》中加减乘除用珠算，开方则用筹算，属于珠筹合用书，那么王文素撰著的《新集通证古今算学宝鉴》则是第一部纯粹介绍珠算的书。
　　王文素，明代数学家，字尚彬，山西汾阳人，出身于中小商人家庭，明成化年随父亲王林经商于直隶，今河北，真定府饶阳，就在此定居。他自幼聪颖，涉猎书史，诸子百家，无一不通，又由于经商的需要，他很小就练打算盘，尤其长于算法，他收集了宋代杨辉、明代杜文高、夏源泽各家的算书，精心钻研，到正德八年，1513年撰成《通证古今算学宝鉴》十册，三十卷。当时河北武清县也有一位喜欢算学的人叫杜瑾，比王文素年长。一次他和王文素在清河旅馆相遇，便提出进行一声数学竞赛。王文素欣然答应，结果王文素以超凡出众 的算法获胜。《算学宝鉴》序中这样描写比赛场面的“：各伸所长，独尚彬公超出人表。”年长的杜瑾心悦诚服地说：“我们这一辈人确实不如文素，文素堪珠算界的精英啊！”1535年，意大利也曾有过一次解三次方程的竞赛，中国古代的数学竞赛，目前能找到记载的，恐怕就是这一次，这次竞赛按年代推测，很可能是一场珠算竞赛。 竞赛后杜瑾看到《通证古今算学宝鉴》稿本，深加赏叹，愿捐资刻印，并请宝朝珍作序，记下此次珠算比赛经过。 但不知什么原因，杜瑾没有兑现诺言，而王文素自己缺乏资金，没有刊刻发行。他在一首诗中写道： “有意刊刻财力寡 ，无人成就恨嗟多。良马若非遭伯乐，盐车困死告谁何？”可见他当时的困境和一片报国之心。正因如此，以致此书 在民间埋没四百多年，几乎失传，因而四百多年来各收藏家和公私书目中，都没有著录。万幸的是1935年左右，前北平图书馆在旧书店中发现此书的手抄本，才以善本珍藏，至今为海内孤本。
　　数学家们通过对《算学宝鉴》的整理研究，认为此书是明代诸多珠算书中，水平比较高的一部。王文素在书中不但全面继承了前人的算学成就，并且有所创新，如将“身前因”改进为“身前乘”，发展了“归总还零”除法，创造了“众九相乘”、“众九为乘”、“实位相同”等新法，并对传统的开方法有所改进。《新集通证古今算学宝鉴》同其后刊行的《算法统宗》相比，至少说在伯仲之间，但程大位有财力雇工刻板，得以风行宇内，而王文素却因无力刊刻，以至埋没民间，由于这两本书的作者遭遇不同，因而对当时社会发生的影响也就大不相同了。但老天不负有心人，埋没四百年的《算学宝鉴》没有失传，1998年山西省珠算协会在王文素的家乡汾阳市举行了王文素《算学宝鉴》研讨会，让尘封四百多年的文化瑰宝真金重烁。
　　《九章详注比类算法大全》和《新集通证古今算学宝鉴》均没有言明珠算，更没有绘出算盘图，到目前所发现的明言珠算且刊有算盘图，以盘式对照口诀说明算法的、最早的珠算书是明代徐心鲁订正的《盘珠算法》。
　　据《盘珠算法》书前题“徐氏心鲁订正”，可知徐心鲁在“闽建书林”订正《盘珠算法》，据李俨先生考证，“闽建书林”是福建在万历年间（1573— 1619）由熊氏、陈氏、郑氏刻印民间用书的一家书店，《盘珠算法》是由熊台南刊行的，此书内容比较浅显，是一本民间应用数学书，算法以“留头乘”、“归除”为主，也杂涉“金蝉脱壳”、“铺地锦”等算法，应用题有仓储、丈量等，卷末有码子暗数，为后世商界所用数码的最早记录。此书在中国已失传，但日本内阁文库有一本。
　　当徐心鲁在福建订正《盘珠算法》后仅五年，同样在福建柯尚迁的《数学通轨》便著成。
　　柯尚迁是福建长乐下屿人，明嘉靖二十八年贡生（1549），任京师，即今天河北省邢台县丞，曾撰著《曲礼外集—补学礼六艺》，此书附录《数学通轨》一书，而我国南京图书馆收藏的《曲礼外集》则缺少《数学通轨》，所以公私书目中没有著录此书，但日本三重县收藏有万历年间柯尚迁的《数学通轨》一册，李俨先生向日本友人借抄得来，才得一窥此书全貌，全书内容分四部分，即算学须知，归除诠要，九章释例，九章总义，书中的算盘图式，系上二下五珠的十三档算盘，由于《数学通轨》一书，在明清两代没有在社会上流传。因而在中国珠算界没有发生应有的作用，但在日本的情况就不同，此书在日本流传很广，影响很大。而在日本流传更广，影响更大的则是《数学通轨》之后十四年成书的、在我们国内畅销百年不衰，并风行日本朝鲜及东南亚地区，为珠算经典著作《直指算法统宗》，它的作者便是明代著名珠算家、数学家程大位。
　　程大位，字汝思，号宾渠，安徽休宁率口人，今安徽屯溪市，生于明嘉靖十二年，卒于明万历三十四年，他自幼颖悟过人，诗词文章，书法篆刻，无不精通，但他更长于算学，二十岁后，在长江中下游一带经商，收集了大量的古算书，并遍访名师，他四十岁左右，弃商返乡，专心著述，年六十岁时，完成珠算杰作《直指算法统宗》十七卷，之后他又对《算法统宗》删繁就简，编成《算法纂要》四卷。
《算法统宗》是一部集各种算法算理之大全的珠算著作，是一部兼有教科书、工具书及实用手册等诸多功能的雅俗共赏、趣味盎然的珠算科普著作。该书共十七卷，五百九十五个问题，卷一、卷二主要介绍珠算基础知识，包括先贤格言、算法提纲、数学名词解释、度量衡、田亩制、珠算加减法的歌诀等。卷三至卷十二是按“九章”的章 名来命名的各种应用题的计算和解法，并附有珠盘图式，卷十三于十六为难题汇编，卷十七为杂法，附论部分以算学源流为题列出了自1084年以来各种数学书目 51种，其中36种已失传，他的算学源流使得后来的研究者们可以略知明以前中国数学发展的概况，其意义是很大的。
　　《算法统宗》自1592年5月在他的家乡安徽屯溪“宾渠旅舍”正式刊行面世后，在国内外畅销百余年而不衰，其主观原因是程大位在这本书采用精讲多练的编写方法，重点抓留头乘与归除，而讲乘除时，重点抓定位，他讲：“盘中定位法”方法简单，易学易懂，所以此书刊行后广泛流传。1598年程大位自己又在《算法统宗》的基础上删繁就简，从十七卷本压缩精编成四卷本，取名《算法纂要》，程大位在编《算法纂要》时，突破了以往算书以《九章算法》为规范的框框，重点放在乘除，旁及农村应用算法，如土方、丈量、盘量仓窖等等，《算法纂要》的出版，更为《算法统宗》的传播推波助澜。
　　《算法统宗》之所以得以风行宇内，客观原因是明朝时期徽商兴起，商务教学均需珠算方面的好教本，这为《算法统宗》提供了阔大无比的市场；而一度雄踞中华商业半壁江山的徽商，足迹不但遍布国内，并且远至日本、泰国和东南亚各国，从而为《算法统宗》走出徽州，走向全国，乃至走向世界，广为传播，提供了媒介与通道；再有，明清时期徽州乃至江南地区刻业蓬勃繁盛，《算法统宗》一问世便遇上了这刻书风气盛行的大好形势。《算法统宗》这部风行于海内外的珠算巨著，奠定了程大位在我们中国乃至世界珠算史上“珠算大师”的地位。
　　如果说程大位是从商贸计算实用方面来普及珠算，那么与他同时期的朱载育则是从尖端科学研究的实用方面去开拓珠算功能。
　　朱载育是明代著名的音乐学家、数学家和历学家，字伯勤，号句曲山人，是我国明王朝宗室，他的父亲朱厚烷被封为郑藩王，因而他降生就被封为世子。他早年跟随舅父何瑭学习天文、算术，因此精通历学和数学，后因皇室内讧，他父亲获罪入狱，他也被黜，被冤十九年平反后，他自愿弃王位而潜心学术，终于成为一代伟大的科学家、音乐家、数学家、天文学家、乐器制造家、舞蹈设计家和文学家，他的科学成就至今仍对全世界存在着巨大影响。他著有《乐律全书》、《律吕正论》、《律吕质疑辩惑》，而《算学新说》则是为对十二音律的计算所著。在这部书中他介绍了如何用八十一档大算盘进行归除开平方和开立方的计算，所求出的平方根和立方根多至二十四、五位，如此浩繁复杂的运算，如果没有十分娴熟和高超的计算技术与技巧，几乎是不可能的。值得一提的是，他提出的开方的珠算方法，比程大位至少早了十一年。在书中他还首创了并联、串联使用算盘，而在算盘上进行“九进制”和“十进制”小数换算，更体现出他对珠算的运用之妙。
　　朱载育对珠算的运用而致高妙，说明只把珠算看作商业计算工具打打加减乘除，不能登上大雅之堂是一种误解。其实，从数学上和算法理论上来看珠算思想之深刻，算理之精奥，运用之广泛，都有其独到的优势。
　　明代珠算家们在珠算逐步取代筹算而成为主要计算工具的过程中，积极研究，发展创造并推广珠算算法，此时不仅四则运算口诀齐备，而且把算法扩展到开方及解高次方程方面，珠算算法已形成一个完整的体系。
　　下面是珠算四则运算口诀源流。
　　珠算加减口诀的源流。
　　珠算加减口诀，即“上法诀”和“退法诀”，首见于明吴敬《九章详注比类算法大全》的“起五诀”、“起十诀”、“破五诀”、“破十诀”，明代王文素的《新集通证古今算学宝鉴》中也著录了解这四种口诀， 以上口诀在明代徐心鲁订正的《盘珠算法》中， 综合成全套的“上法诀”和“退法诀”，也就是流传到现在的加法口诀和减法口诀。
　　 珠算乘法源流：
　　珠算乘法则源于筹算。古代筹算乘法有“上乘”和“下乘”两种。“上乘”，现称前乘法，是常规算法，具体算法首见于《孙子算经》，下乘法用得较少，只是上乘法的辅助方法，具体算法首见于《夏侯阳算经》。由于上乘法用三重张位方式，占地多，速度慢，因此唐宋两代，有些数学家就致力于上乘法的改革，改革的方法大致有两类，一类把三重张位改为二重张位，如南宋杨辉《算法通变本末》卷上的相乘，或者把三重张位简化为一行列式计算，如唐朝江本著《三位乘除一位算法》，原书已佚。另一类对乘数是多位数的乘法改用下乘法，简便省事，速度提高了。计算工作者在反复计算实践中，受到下乘简便省事的启发，很自然地把一般的多位数乘法仿效下乘法计算，在一般多位数乘法演变为下乘法的过程中，出现了破头乘、留头乘和掉尾乘等方式 ，而当时又正好风行“小九九口诀”，而留头乘正好适用小九九，因此得以推行，占了优势，甚至在一些元明算书中都只著录留头乘，而不谈上乘法，上乘法因此衰退，几乎无人运用。在筹算上乘法已成强弩之末，而下乘法风行时期，珠算乘法很自然地顺应当时潮流，只继承筹算的下乘法了。
　　珠算除法的源流。
　　珠算除法也是源于筹算除法。传统的筹算除法是商除法，在我国古代流行一千多年。所谓商除法就是用被除数和除数比较估计商几，其方法与现在的笔算差不多，因为商数也要另立一列，所以也是三重张位。到了唐宋时代，数学家们力求对筹算除法进行改革，如沈括《梦溪笔谈》中记有增成法。以后在增成法的基础上，经过“九归古括”和“九归新括”的演变，还补充了“撞归”、“起一歌诀”，才逐步完成归除体制，到了元明的算书，都只著录归除，商除法已处于陪衬地位，在筹算归除法处于全盛时代，珠算兴起而代之，自然顺应形势，仍用筹算归除法，如柯尚迁《数学通轨》、程大位《算法统宗》对除法均以阐述归除为主，而以商除为陪衬。
　　到明朝时期，珠算四则运算已形成一个完整的体系，阐述这些理论的书籍和算盘一起被传播到国外，扩大了中国珠算在国外的影响。
　　明代珠算先后传入了朝鲜、日本、泰国等邻国，其中在日本的影响最大。明代传入日本的算书有杨辉的《杨辉算法》、朱世杰的《算学启蒙》、吴敬的《九章详注比类大全》、徐心鲁订正的《盘珠算法》、柯尚迁的《数学通轨》、程大位的《算法统宗》和《算法纂要》、朱载育的《算学新说》，有关珠算史料的《魁本对相四言杂字》也是明代由刻书家陈伯寿传入日本，以上传入的珠算书，影响日本发展的是《数学通轨》和《算法统宗》二书，尤以《算法统宗》的翻刻流传最广。
　　中国珠算在明代还传入了泰国，十七世纪后期，法国人卢贝尔，曾在泰国见到中国人使用的算盘，他在《暹罗王国历史》一书中记述了中国算盘的结构和用法，并对中国人打算盘的快速感到惊奇，这位法国人在暹罗所见中国算盘虽在十七世纪后期，但根据史料记载，明代徽商已远至日本、暹罗，所以中国算盘可能由徽商传入暹罗。
　　明代中期以后，珠算取代筹算，成为主要计算工具，珠算界人才辈出，珠算书籍畅销不衰，中国的算盘和珠算书还分别传入朝鲜、日本和泰国，所以明代我国珠算得到极大的发展，成为我国珠算的鼎盛时代。