宋元时期
　　　　　　　　　　　　　　　　　　（960－1368年）
　　【提要】宋元时期，以杨辉、朱世杰为代表的数学家们在实用数学方面，创造了各种乘除简捷法和“歌诀”，这些都成为珠算算理算法的重要组成部分。同时，有梁穿档的算盘已在民间广为使用。因此，这一时期的珠算，无论是计算工具还是算理算法都有了进一步的发展。
　　“有梁穿档”现代式算盘究竟起源于何时，由于文献不足，珠算史研究者们众说纷纭，莫衷一是。综合各家的推断，主要有汉代说、唐代说、宋代说、元末明初说。
　　持汉代说的主要有清代梅启照和现代朱永茂，他们都是以《数术记遗》是汉末徐岳著作为依据，除此以外并无其它证明，而《数术记遗》究竟是否伪作，目前还尚未定论，而且对《数术记遗》中的“珠算”工具，大部分研究者认为只能称为现代算盘的前身，即使《数术记遗》确定为汉代作品，也不能认为现代算盘起源于汉代。
　　持唐代说的主要有现代余介石、殷长生、李培业等学者，他们的主要观点是：唐代中叶后，商业日盛，计算趋于繁重，为适应商业计算需要，算盘因之产生是很自然的；唐末宋初推行的一位算法，是为珠算服务，不是为筹算着想，由此而推断算盘起源于唐朝；《清明上河图》中算盘图则是持唐代说者较为有力的证据。
　　《清明上河图》是北宋大画家张择端的著名作品。这幅画是以中国传统习俗三月三清明节扫墓之日为题材，生动地再现了当时东京汴京城内人民的生活、生产、商业贸易以及集镇、农村的真实面貌，由此又反映出了时代的经济状况和政治背景等，故而被视为中外驰名的文化考古珍品。在这幅巨大的画面中，画出了几百个人物，几十幢房屋，还有为数众多的驴马车辆、轿乘、人夫等。闹市、商店栉比，琳琅满目，街头小贩吆喝，交易繁忙，酒楼茶社休闲娱乐，歌舞升平，又衬着远方长长的骆驼队，把宋代当时人民生活，跃然纸上，栩栩如生，堪称为一件有着历史意义的伟大作品。
　　面对这幅诺大场面的巨画，珠算史研究者们是如何想起要在这幅画中寻找算盘？又是怎样历尽艰辛，在这样的大画中，去搜寻到一架小小的算盘的呢？这其中还有一段颇为感人的经过。
　　我国已故著名数学家余介石教授，时常以中国珠算未能确定其发明年代而引为憾事，他在研究宋代有关书籍的同时，也参照了郑振铎的《清明上河图研究》。由于不断探索和集众家所言，便想及这幅细致表现宋代人民生活的《清明上河图》中是否真的有可能画入与百姓生活有密切关联的算盘呢？1956年3月，他和我国另一珠算专家殷长生先生在北京故宫博物院的特别关照下，对《清明上河图》进行了中国珠算史上的第一次考察，但是要在这样一幅5米多长，画有几百人的大画中，寻找出一架小小的算盘，确非易事。他们几乎花了一个上午的时间，终于在一家药铺的桌子上发现了一架算盘，便喜不自胜地描摄下了图形，并将周围情景和所要的资料记录下来。谁料在十年动乱中，余介石教授苦费心思整理的资料，竟全部被毁，并且余先生也在此期间与世长辞了。
　　1980年8月，日本全国珠算教育连盟委托刚刚成立的中国珠算协会，协助将中国算盘传到日本的确切年代调查清楚，由此而引发了中国珠算史研究者们在研究珠算传到日本的年代之前，先必须研究我国自己的发明年代。1981年1月，中国珠算协会同北京新闻电影制片厂，又到故宫博物院，作了中国珠算史上第二次的《清明上河图》考察，由于事隔二十多年，资料被毁，当年看到的算盘，究竟在图的什么位置，当年和余介石教授一起看到算盘图的殷长生先生也捉摸不清了。就在大家对图中究竟有无算盘产生怀疑时，殷教授还是力主再找下去，这样，在努力寻找了一个多小时后，终于在画的末端，发现了药铺内面当中的桌子上一叠帐簿的旁边，并列放着一架算盘，这时大家齐争相看，并齐声喝彩。
　　大家可以看到，在接近全图的最后部分，也即画卷的最左端有一家称作“赵太丞家”的药铺，门面两侧挂着传统的招牌，上联是“大昌中刃雷肠胃片”，下联是 “治洒所伤真方集香丸”，另在店旁还立着一块字额，上书“五劳七伤治诣”句。药店铺面前，坐着一位妇人，怀抱婴儿，状似求医就诊，旁边又立一妇人，可能是伴随者或仆从，对面站立的男子，则可以解释为医生或店员，下面桌子上放着一架算盘，算盘右边堆着帐簿，也许是积存的药方。
　　但对《清明上河图》中的算盘是否真是现代形式的算盘，有人提出疑问，即仔细观察图中所画的算盘，其横梁很不够明显，若无横梁，则不能与现今的算盘相同，并且又有与距今天五十年前仍使用的“钱板子”相似的嫌疑。对此，殷长生教授在其论文《考察 〈清明上河图〉，鉴定中国算盘产生的年代》中从多方面进行了分析、论证，认为图中所画的确实是一架算盘。特别是他从中药店的营业方式这个角度的论证，颇有道理。我们中国是中药中医之国，中药汤剂的配方大部分是草药，一般汤剂的药味，每每多达八味或二十几味，药店计价的店员在计价时，先将每味药的重量与单价用心算乘法算出，然后迅速地随手加在算盘上，而累计成总价，算盘之所以自古以来便是中药店里不可缺少的营业工具，其道理就在这里。现在北京六七十岁的老人都还记得有着三千年历史的北京“同仁堂”药店里，在十米多长的柜台上，从中心直达两端，满满固定镶着一架大算盘，一列排开的营业员，每人左手拿着处方，右手则敏捷地拨动着算珠，这妙景实在奇特，这样的大算盘在天津和上海的大药店中也曾有过。
　　如果《清明上河图》中所画的确实是现代形式的算盘，那么又可做出以下推断：《清明上河图》虽出于宋代，但这幅画中所表现的算盘，并不一定就是宋代的产物。因为在绘画中，尤其是像《清明上河图》这样如实反映人民生活的图画中，所描绘出的一种工具，必然是在这张画作成相当长的年代以前，早就出现了的东西。北宋之前五十三年是战乱频繁的五代十国，在社会动荡，民不聊生的情况下，还谈得上什么科学技术的发展呢？因此可以推断《清明上河图》中的算盘显然是在唐末以前便已经有的。
　　日本珠算史研究会会长铃木久男先生1981年5月，亲自考察了《清明上河图》后，充分肯定了殷长生先生论文的价值，并同意唐代起源说这一观点，但本着科学严谨的态度，从目前现有的史料推断， 大部分珠算史研究者认为现代算盘产生于 宋代较 为可信，持宋代说的有清代梅珏成、凌廷堪，现代华印椿、张福汉等人， 他们所根据的史料有这样一些：一是刚才介绍的；二是巨鹿宋代故城出土的算盘珠。宋徽宗大观二年，即1108年，河北省巨鹿县故城因黄河泛滥而被湮没，1921年7月，前北平国立历史博物馆派员前往巨鹿故城三明寺故址发掘，获得王、董二姓故宅地下的木桌、碗箸、盆、石砚、围棋子、算盘子等到二百多件，掘得的算盘珠一颗，此珠木质，扁圆形，与如今通用的算盘珠大小相仿，只稍扁，这颗算珠现由北京历史博物馆收藏；三是宋代刊刻的珠算书《盘珠集》和《走盘集》。明代程大位的珠算名著《算法统宗》卷末“算经源流”中著录了宋、元、明三代刊印的算书五十种的目录，其中提到：“元丰（1078—1085）、绍兴（1131—1162）淳熙（1174—1189）以来刊刻者其多，且以见闻者著之”，这部分书目中共十八种，《盘珠集》和《走盘集》这两本书列在其中，据史料考证，算盘古称珠盘，珠算法又称盘珠算法，因此这两本宋代刊印的书为珠算书是无疑的了。四是宋代《古今图书集成-谢察微算经》中的用字例义有如下记载：“中，算盘之中。上，脊梁之上，又位之左。下，脊梁之下，又位之右。脊，盘中横梁隔木。商总，合用商开之法于盘中。”以上用字例义只有珠算盘才适用。五是北宋钱易在大中祥符中做开封县令时，曾撰著《南部新书》一书，此书记有当时善工算的钟离令王仁釉的“八卦五曹算法”，在叙述此法可计算加减乘除及开方、求一立一诸法时，附带提及“但用诸法径门，取其简要，若类鼓珠之法，且凝滞于乘除”等语，据余介石和华印椿先生的推断，这里的“鼓珠”已将浑圆的珠改为扁珠，形如鼓，所以称为鼓珠，由此可以证明北宋时已有穿档的算盘了。六是宋末元初诗人刘因的《静修先生文集》中有一首算盘诗，内容是这样的：“算盘：不作瓮商舞，休停饼氏歌。执筹仍蔽簏，辛苦欲如何？”意思是不要像贩瓮商人那样盘算，以致半夜起舞，连瓮都踩破，不要停唱卖饼者的歌，要边做边唱自得其乐。像晋代的祖士少那样好财盘算，辛苦一世，究竟为了什么呢？ ”这首诗是诗人以算盘为题，且用典故抒写自己淡于名利，反对好财盘算的思想，宋末元初已有人以算盘为题材作诗，说明宋代民间已有算盘了。七是元初画家王振鹏在元至大三年（1310年）所绘制《乾坤一担图》中，货郎担上有一把算盘，其横梁和档子的穿珠，极为清晰，同现代算盘一样，元初的货郎担上有这种算盘，可以证明宋代已有算盘了。
　　关于宋代说，也有学者提出这样的疑问：“既然宋代民间已有算盘，但为什么宋朝所有算书中，没有一言提及珠算呢”对此，华印椿教授认为，初期的加减便于加减计算，不便于乘除计算，特别是筹算乘除开方等法，还不能完全搬上算盘；其次是当时统治者仍实行重农轻商的政策，使士大夫们轻视珠算，视工商业为末业、贱业，因此，著书者都不愿在书中提及珠算，即是明代吴敬和王文素，虽著录了珠算口诀，却没有明言珠算，何况是歧视商贾之风更甚于元明的宋朝呢？在史料要求更严谨，推断时间比宋代说较为保守的还有元代说、元末明初说和明代说。
　 　清钱大昕《十驾斋养新录》中，提出元末陶宗仪著录的《辍耕录》第二十九卷的“井珠”条引述了“算盘珠”的谚语而认为元代已有算盘了，近代李俨发现元曲选《庞居士误放来生债》杂剧中二煞唱词中有“算盘”一词，他曾疑为是筹算盘，华印椿考证仍为珠算盘。
　　还有一种意见认为现代算盘在元末明初或元明之初产生，比较含糊，不甚明确，如清梅文鼎、现代陈宝定同志和日本全珠连会长荒木勋先生，而认为现代算盘产生于明代是过去许多珠算史家较为一致的看法，这是因为明代有关珠算论著甚多的缘故。
　　 关于算盘起源的种种说法，虽对珠算产生的年代有不同见解，但大家在对“珠算与筹算的关系比较密切”这一点是还是公认的。因此，在明代正式介绍珠算书籍出现以前，宋元时代的算书中介绍筹算，在 算理算法上对珠算的形成与发展有着一定的影响和促进作用的。在这一方面，宋元时期的数学家沈括、秦九韶、李治、杨辉、朱世杰等贡献尤是为突出。
　 　沈括是北宋初期著名数学家，浙江杭州人。他博学多才，所涉及的学术范围是很广泛的，所撰《梦溪笔谈》三十卷，其内容涉及天文、数学、物理、化学、工程技术等各个方面，对我国科学技术的发展，做出了卓越的贡献。在数学方面，创立“隙积术”，也就是二阶等差级数的求和法，还发明会圆术，即已知圆的直径和弓形的高，求弓形的弦和弦长的方法。在计算方法上，主张采用简捷之法，提出了求一、上驱、搭因、重因、增成一法等多种简捷算法，这些方法不仅在当时的社会实践中发挥了作用，而且也是从筹算过渡到珠算的一座桥梁。
　　在沈括之后，公元1127年，金人攻陷了北宋都城汴梁（今开封），在北方，继金之后，又有蒙古族兴起和南宋形成了南北对峙的局面。但是恰好在这种对峙形势之下，中国古代数学史上却揭开了极其重要的一页，在南方有秦九韶和杨辉，在北方则有李治和朱世杰，秦李杨朱四大家的著作充分地反映了这一时期中国数学的辉煌成就。
　　秦九韶，字道古，他自称是鲁郡人，其实他生于四川，当时人对他就有“性极机巧，星象、音律、算术营造、弓剑、球马、诗词管弦、制乐度曲，无不精极。” 的评价。他在饱受兵灾，生活不能安定的几年中，体会到数量关系在事物发展中所起的作用，从而积累了许多数学知识，苦心钻研也有所心得，写成了数学名著《数书九章》，全书分九类，每类九个问题，共八十一题。书中他创造性地介绍了“大衍求一术”，即整数论中的一次同余式解法，是历法中计算日月星辰运行周期不可缺少的技术，并创立了“正负开方术”，即数字高次方程的求正根法，此书是全面继承和发展了我国历代计算技术和数学的传统理论，是研究古代思想及数学理论的一部算书。
　　和秦九韶几乎同时，在中国北方出现了另一位杰出的数学家李治。李治后改名叫李冶，大约是为了避唐高宗李治的讳，才把李治写为李冶的。李治字仁卿，号敬斋，河北滦城人，是一个著名的数学家兼天文学与历史学家，著有《测圆海镜》十二卷、《益古演段》三卷、《泛说》四十卷、《敬斋古今黄主》四十卷等。在数学研究方面，对我国古代用天元术解直角三角形的容圆问题有重要性贡献，其中《测圆海镜》是我国现存最早对天元术进行系统叙述的著作，是我国数学发展史上一部重要的数学著作。
　　稍迟于秦九韶和李治，在南宋出现了大数学家杨辉。杨辉，字谦光，浙江杭州人，关于他的生平，流传下来的资料很少，但是他的著作，对于了解当时数学发展面貌却是很有意义的，他著有《详解算术九章》十二卷、《日用算法》二卷、《乘除通变算宝》三卷、《田亩比类乘除捷法》二卷、《续下摘奇算法》二卷，其中《详解数书九章》是他的第一部著作，这部书在编排体例上，把详解部分三项，即解题、细草、比类，这是杨辉之前算书所没有的，这部书的编著特点，对他以后各部著作都有影响。
　　《乘除通变本末》、《田亩比类乘除捷法》及《续古摘奇算法》是杨辉后期著作，一般称之为《杨辉算法》，在他的《杨辉算法》中，记载了关于改革筹算的一些乘除简捷算法，如他系统叙述了唐宋相传的“加法”、“减法”与求一代乘除说，其求一乘、求一除各有歌诀，在除法方面，叙述了“九归捷法”口诀及“飞归” 法，这些对后期珠算口诀的形成与发展有着一定的影响。
　　与杨辉同时期，朱世杰在中国北方成为数学的领导人物。朱世杰，字汉卿，自号松庭，在元灭南宋以前，南北之间的交往，特别是学术上的交往几乎是断绝的，南方的数学家对北方的天元术毫无所知，而北方的数学家也很少受到南方的影响，到1276年，元对南宋的大规模军事行动结束之后，他便开始“周游四方”，进行长期的游学讲学活动。从现有的资料来看，在中国古代数学家中，朱世杰可以说是第一个以数学为专业的教育家。经过长期的周游讲学，他在数学方面的成就日渐突出，终于在1299年和1323年，在扬州刊刻了他的两部数学杰作——《算学启蒙》和《四元玉鉴》，这两部书是我国古代数学发展进程中的一个重要里程碑。
　　《算学启蒙》三卷，这部书由乘除法运算起，直到“开方”、“天元术”等，几乎包括了当时数学这一门学科中各方面的内容，形成了一个较完整的体系，由浅入深，循序渐进，确实是一本很好的启蒙书籍，此书对杨辉的乘除捷法进行了进一步优化，特别是首次提出“留头乘法”，虽没提出“撞归”和“起一”的口诀，但对“一归”和“九归”作了说明。他的另一部著作《四元玉鉴》共三卷，二十四门，288问，书中讨论了高次方程组的消去法，阐述了他的伟大创造——四元术，在中国数学历史上，这是流传至今的关于高次方程组一般解法的最早记载。
　　在四大家之外，宋元时代杰出的数学家还有贾宪、郭守敬等，在商用数学方面，除《杨辉算法》，还有《算法全能集》、《详明算法》和《丁巨算法》等书流传下来。
　　《算法全能集》，元末贾亨著，书中介绍了因法、加法、乘法、减法、归法、归除、求一、商除等方法，并有完整的撞归口诀，每一种方法都有歌诀，这些歌诀大部分被程大位在写《算法统宗》时引用。
　　《详明算法》，元末安止斋、何平子著，分上下二卷，其内容与《算法全能集》大致相同，上卷讲算法基础，下卷讲各项应用，是一本解决日常生活中计算问题的算书，特别值得一提的是书中介绍了我国古代的“悬空位法”，即现今的公式定位法。
　 　《丁巨算法》，元代丁巨著，书中有“归除法”和“撞归法”的例题，虽名为归除而演算过程为商除，据余介石教授研究，可能是商归法。
　　以秦李杨朱为代表的宋元数学家们，以自己的杰出著作，把中国古代数学推向更高的境界，形成了宋元朝代中国数学发展的最高峰。同时，他们对乘除简捷算法的改革，使得与社会生产实践密切联系着的商用算术得到了迅速的发展，在算理算法上为珠算最终取代筹算而成为社会主要计算工具打下了坚实的基础。