中国珠算博物馆

【内容提要】　算盘是我国古代劳动人民的发明创造，它萌于商周，始于秦汉，成于唐宋，盛于元明。明代中后期取代算筹成为我国主要计算工具，对促进我国社会经济发展发挥了重要作用。由南通博物苑收藏，现借展于中国珠算博物馆的清代子玉款算盘，其梁和边框上标有49个大小不同的计数单位，以及“小数和、中数、大数”进制方法，这也是子玉款算盘的文物价值和研究价值所在。但这些计数单位和进制方法如今极少见到，本文对此进行考释，探求其历史源流及使用方法。

　　清代子玉款算盘（图一、图二），中国珠算博物馆藏。算盘上刻有“子玉学历记福海春长署斋”和“子玉学历记福海春长之署”的款识，经考证，系清代官员周懋琦藏印，子玉为其号，故称这两把算盘为“子玉款算盘”［1］。周懋琦1872年任台湾知府，1881年任清政府福州海军基地船政提调。子玉算盘是其在福州参与设计我国第一艘钢甲巡洋舰――平远号时所使用的。

　　两把子玉款算盘框、梁、珠、底板均为榉木，铜档，档位及算珠数量分别为25档上四下五珠（下文简称25档算盘）和49档上二下五珠（下文简称49档算盘）。25档算盘，长45厘米，宽24.5厘米，厚2.5厘米；49档算盘，长80厘米，宽20.2厘米，厚2.5厘米。这是目前为止所发现的，唯一完整标有古代计数单位及进制方法的算盘，也是唯一在梁上设四颗算珠的算盘。本文试就算盘上所刻写内容及梁上四珠算盘的使用进行探讨与研究。

　　　　自右向左依次标有“渺”至“载”共25个计数单位(图三)：

　　渺、埃、尘、纤、微、忽、丝、毫、厘、分、壹、十、百、千、万、亿、兆、京、陔、秭、壤、沟、涧、正、载。

　　注：“陔”是“垓”的异体字，子玉款算盘上就同时出现了这两种写法。

　　自右向左依次标有“太极”至“周复”共49个计数单位（图四）：

　　太极、太初、太始、太素、净、清、空、虚、六德、刹那、瞬息、弹指、须臾、逡巡、模糊、漠、渺、埃、尘、沙、纤、微、忽、丝、毫、厘、分、壹、十、百、千、万、亿、兆、京、陔、秭、壤、沟、涧、正、载、极、恒河沙、阿僧祗、那由他、不可思议、无量数、周复。

　　“一、十、百、千、万”是我国古代最早使用的计数单位。据考证，在我国殷墟出土的距今1400年的甲骨文卜辞中，就已经出现了许多数字，这些数字符号中，除去从1至9这9个数字之外，就是十、百、千、万。这是我国现存史料中“一、十、百、千、万”的最早记载。

　　2、关于“亿、兆、京、陔、秭、壤、沟、涧、正、载”的最早记载

　　随着人们认识的发展，原有计数单位已远远不能满足计数的需要，人们开始了“数有穷乎”的疑问和探讨，随之也就出现了比“万”更大的计数单位。东汉数学家徐岳（约公元168-？）在其所撰的《数术记遗》（约成书于公元196-206年，北周甄鸾注）一书中，有如下记载：

　　黄帝为法，数有十等，及其用也，乃有三焉。十等者，谓亿、兆、京、陔、秭、壤、沟、涧、正、载。［2］

　　这里将计数单位从原有最大的“万”一直扩展到了“载”，这是我国古代数学中“亿、兆、京、陔、秭、壤、沟、涧、正、载”的最早记载。

　　3、关于“尘、沙、纤、微、忽、丝、毫、厘、分”的最早记载

　　（1）《孙子算经》（著者待考，成书约在公元400年前后）“卷上”中有如下记载：

　　度之所起，起于忽。欲知其忽，蚕吐丝为忽，十忽为一丝，十丝为一毫，十毫为一厘，十厘为一分。［3］

　　（2）《谢察微算经》（著者待考，约成书于11世纪）中在“忽”往后增加了“尘、沙、纤、微”：

　　小数：分（十厘为分）、厘（十毫）、毫（十丝）、丝（十忽）、微（十纤）、纤（十沙）、沙（十尘）、尘（埃渺）。［4］

　　这是“分、厘、毫、丝、微、纤、沙、尘”最早的完整记载。

　　元代数学家朱世杰（生卒年月不详）所撰《算学启蒙》（成书于1299年）中有如下记载：

　　大数之类：一、十、百、千、万、十万、百万、千万，万万曰亿，万万亿曰兆，万万兆曰京，万万京曰陔，万万陔曰秭，万万秭曰壤，万万壤曰沟，万万沟曰涧，万万涧曰正，万万正曰载，万万载曰极，万万极曰恒河沙，万万恒河沙曰阿僧祗，万万阿僧祗曰那由他，万万那由他曰不可思议，万万不可思议曰无量数。

　　小数之类：一、分、厘、毫、丝、忽、微、纤、沙，万万尘曰沙，万万埃曰尘，万万渺曰埃，万万漠曰渺，万万模糊曰漠，万万逡巡曰模糊，万万须臾曰逡巡，万万瞬息曰须臾，万万弹指曰瞬息，万万刹那曰弹指，万万六德曰刹那，万万虚曰六德，万万空曰虚，万万清曰空，万万净曰清，千万净、百万净、十万净、万净、千净、百净、十净、一净。［5］

　　这是我国古代数学典籍中，从“净”至“无量数”44个计数单位的最早记载。

　　（三）子玉款算盘与《算学启蒙》所载计数单位不同之处

　　1、小数中“瞬息”与“弹指”的前后顺序（即大小）不同

　　《算学启蒙》中是“瞬息”大、“弹指”小；子玉款算盘上所标的是“弹指”大、“瞬息”小。明代程大位（1533-1606）所撰《直指算法统宗》（成书于1592年）、清代潘逢禧（生卒年不详）所撰《算学发蒙》（成书于1882年）、清代白文波（和卒年不详）所撰《初学易解算法》（成书于1898年）等典籍，均与《算学启蒙》中所记载一致。

　　唐代道世法师（？～683）据各种经典编纂而成的《法苑珠林》（成书于668年）中“时节篇”有如下记载：

　　又毗昙论。……。一刹那者翻为一念。百二十刹那为一怛[dá]刹那，翻为一瞬。六十怛刹那为一息，一息为一罗婆。三十罗婆为一摩睺[hóu]罗，翻为一须臾。三十摩睺罗为一日夜。……。僧祇律云。二十念为一瞬。二十瞬名一弹指。二十弹指名一罗预。二十罗预名一须臾。一日一夜有三十须臾。［6］

　　上述文中分别介绍了佛经（梵文）《毗昙论》及《僧祇律》中关于时间单位的进制规律。现将两者所述时间单位换算成秒如下表：

　　根据上表可知，两者中“须臾”所表示的时间长短一样，“瞬”则有所不同，“刹那”极为接近，可以忽略其差距。综合比较得出各名词所表示时间由长到短顺序如下：

　　须臾（摩睺罗）→罗预→息（罗婆）→弹指→瞬（怛刹那）→刹那（念）

　　在以上顺序中，梵文中是将“息”和“瞬”拆开作为两个单位名词使用，传至中国后两者合而为一个单位“瞬息”，因而出现了将“瞬息”列在“弹指”前或后都有的现象。这就要看“瞬息”是重点表示“瞬”还是重点表示“息”，而确定其在“弹指”的前或后了。因此，子玉款算盘和《算学启蒙》的记载都是有其道理的。

　　“太素、太始、太初、太极”出自于道家哲学理论。道家哲学认为，天地万物从无形到有形，共经历了五个发展阶段，即太易、、太始，太素、太极。《列子》（战国时期列寇撰）有如下记载：太初

　　夫有形者生于无形，则天地安从生？故曰：有太易，有太初，有太始，有太素。太易者，未见气也：太初者，气之始也；太始者，形之始也；太素者，质之始也。气形质具而未离，故曰浑沦。浑沦者言万物相浑成而未相离。” ［7］

　　《易经·系辞》有记载：“是故易有太极，是生两仪”，其中的太极就是天地未开、混沌未分阴阳之前的状态，即《列子》中所说的“浑沦”。从“无极而太极”的过程，我们可知，如果将这些词汇用作计数单位，从大到小应该为“太极、太素、太始、太初”。但在子玉款算盘上却将“太极”放在最后，为最小计数单位。这可能受明代数学家柯尚迁(1528～1583年)的“数始于太极而终于太极”的思想影响。柯尚迁在其《数学通轨》（成书于1578年）“数原”篇中有如下记载：

　　孔子曰，易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象立而三才具，五行运於其间矣，故天地之数始於一，太极者，一也，太极生阴阳，阴阳者，二也。……。故数始於太极而终於极。［8］

　　“周复”是循环往复、周而复始的意思。东汉班固（32-92）《汉书》记载：

　　数之为用，言重则变，以小兼大，又加循环之理，岂有穷乎？［10］

　　数始于一，故由一而上之，但无量数以上仍有大於此者，故曰其数不能极。［11］

　　子玉款算盘上用“周复”比较恰当地表达了“循环之理，岂有穷乎”和“数不能极”的道理。

　　25档算盘下边框和右、左边框分别刻有“小数、中数、大数”的单位进制方法。

　　2、右边框：自亿以往，满百万则进位，中数也。百万曰亿，盘上格顺数第二轮珠儗之。

　　3、左边框：自亿以往，满万万则进位，大数也，万万曰亿，盘上格第一轮珠儗之。

　　子玉款算盘中所记录的“小数、中数、大数”，在有关佛教经籍中可以查到相关记载。唐代释慧琳（737-820）所撰《一切经音义》（成书于802年）有如下记载：

　　黄帝为数，法有十等，谓亿兆京垓秭壤沟涧正载。及其用也，有三，谓上中下。下数十万曰亿，中数百万曰亿，上数万万曰亿。［12］

　　唐代释法宝（645-703）撰《俱舍论疏》卷第一也有类似记载：

　　此间算法有上、中、下。下法十万曰亿。中者百万曰亿。上者万万曰亿。［13］

　　由此可见，子玉算盘采用的是佛经中所记载的单位进制方法，可表示如下：

　　25档和49档子玉算盘的横梁上对应着每个档位都标有计数单位（图六、图七），既可以看作是计数单位，又可以看作是“满十而进”的“小数”进制方法。

　　25档算盘的上边框所标内容（图八），是对“自亿以往，满万万则进位”的具体说明，摘录如下：

　　太一、十、百、千、万、十万、百万、千万、万万曰亿、万万亿曰兆、万万兆曰京、万万京曰陔，万万陔曰秭，万万秭曰壤，万万壤曰沟，万万沟曰涧，万万涧曰正，万万正曰载，万万载曰极，万万极曰恒河沙，万万恒河沙曰阿僧祗，万万阿僧祗曰那由他，万万那由他曰不可思议，万万不可思议曰无量数。

　　49档算盘上边框所标内容（图九），列成下表来分析（从右往左阅读分析）：

　　分析表中内容，“亿、十亿、百亿、千亿、万亿、兆、十兆、……”，似乎在这里使用的是“万进制”。但是这里有一个疑问，那就是既然是万进制，那么“万亿”即“兆”、“万兆”即“京”，“万亿、万兆”完全没有必要重复写出来。算盘上如此有规律地刻写这些计数单位，应该不是刻写错误，这里肯定有其道理的。待我们分析49档算盘下边框所标内容后就能理解这个问题了。

　　49档算盘下边框刻写的内容（图十），是最令人费解的，为了便于分析其规律，现将原文分段摘录如下表（从右往左阅读理解）：

　　这里的符号“二”，如果作为数字“二”来理解，显然说不通；如果作为等于号理解，也找不到其依据。因为这个符号总是和“万”连在一起，因此它应该是两个“万”连在一起，第二个“万”的略写形式，这在我国古代书法中找到依据。在我国古代书法中，如果前后两个字是相同的叠字，那么第二个字通常会用“二”来表示。例如下面两幅书法作品中的“处处”和“怱怱”(图十一、图十二)就是如此：

　　因此，算盘中所标的“万＝亿”就是万万亿，其余依此类依此类推。

　　从表格可以知道，第1段末位是“万亿”，转到第2段首位是“万万亿”；第2段末位是“万兆”，第3段首位是“万万兆”，其余各段之间的转接规律相同，都是从“万※”转接到“万万※”。根据这一点，我们就可以理解前文中所述的一个问题了，即49档子玉算盘的上边框中，“万亿、万兆、万京、万垓、万秭”后面分别是“兆、京、垓、秭、……”，与下边框中所述其实规律是一样的，即从是“万※”转接到“万万※”。因此，上下边框中所述进制规律是相一致的，均是使用的“大数”法，即“满万万则进位”。

　　　　三、子玉算盘的进制方法与《数术记遗》中“三等数”的比较

　　在我国古代数学中早就有“下数、中数、上数”的命数法，即“三等数”，与子玉算盘所标记略有不同。《数术记遗》一书中，有如下记载：

　　黄帝为法，数有十等，及其用也，乃有三焉。十等者，亿、兆、京、垓、秭、穰、沟、涧、正、载。三等者，谓上中下也。其下数者，十十变之，如言十万曰亿，十亿曰兆，十兆曰京。中数者，万万变之，如言万万曰亿，万万亿曰兆，万万兆曰京。上数者，数穷则变，如言万万曰亿，亿亿曰兆，兆兆曰京也。［14］

　　根据上述记载，在“三等数”中，下数是十进位法，如十万是亿，十亿是兆，十兆是京；中数，是万万进位法，如万万是亿，万万亿是兆，万万兆是京；上数，是自乘进位法，如万乘万是亿，亿乘亿是兆，兆乘兆是京。“三等数”可表示如下：

　　《数术记遗》中“十十变之”的“下数”与子玉款算盘中“满十而进”的“小数”是一样的，采取的是十进制。如梁朝顾野王(519～581年)撰《宋本玉篇》：

　　土部——垓，古苔切，《国语》曰：“天子之田九垓，以食兆民。”《风俗通》曰：“十千曰万，十万曰亿，十亿曰兆，十兆曰经，十经曰垓。” ［15］

　　我仓既盈，我庾维亿。赋也。露积曰瘐。十万曰亿。［16］

　　《数术记遗》中“万万变之”的“中数”与子玉算盘中“自亿以往，满万万则进位”的“大数”一样，都是万万进制。关于万万进制，《敦煌石室算经》里有明确记载：

　　凡数只有十、名只有万，故万万则改为一、十、百、千、万、十万、百万、千万、万万为亿，……万万载为极。［17］

　　《数术记遗》与子玉款算盘关于进制有两个不同的地方，一是子玉款算盘“自亿以往，满百万则进位”的中数，在《数术记遗》中是没有的，这种进制在《钦定四库全书·经部二·尚书注考·书类》中有记载：“受有臣亿万。训，百万曰亿。”二是《数术记遗》中自乘进制在子玉款算盘中是没有的，这种进制表示的数目极大，在实际中也极少用到。

　　正因为我国古代数学中存在着多种进制方法，因此在一定程度上形成了计数领域内的混乱。如《诗经·伐檀》：“不稼不穑，胡取禾三百亿兮。”西汉毛亨（生卒年月不详）传云：“万万曰亿，禾秉之数。”东汉郑玄（127-200）笺云：“十万曰亿。三百亿，禾秉之数也。”关于这两者解释上的矛盾，唐孔颖达（574-648）作疏：

　　万万曰亿，今数然也。《传》以时事言之，故今《九章算术》皆以万万曰亿。……《笺》以《诗》、《书》古人之言，故合古数言之。知古亿十万者，以田方百里，于今数为九百万亩，而《王制》云：“方百里为田九十亿亩”，是亿为十万也。故彼注云：“亿今十万”，是以今晓古也。《楚语》云：“百姓千品，万官亿丑”，皆以数相十，是亿十万也。［18］

　　通过孔颖达的考证，可知郑玄的“十万曰亿”是正确的，而毛亨的“万万曰亿”是把汉代使用的“中数”与《诗经》时代的“下数”相混淆了。

　　为了对计数进制混乱的情况加以纠正，清康熙年间，由清代数学家梅珏成(1681-1763)主持编撰的《数理精蕴》（成书于1723年）一书中进行了规范：

　　凡度量衡，自单位以上，则曰十、百、千、万、亿、兆、京、垓、秭、穰、溝、涧、正、载、极、恒河沙、阿僧秪、那由他、不可思议、无量数。自亿以上，有以十进者，如十万曰亿，十亿曰兆之类；有以万进者，如万万曰亿，万亿曰兆之类；有以自乘之进者，如万万曰亿，亿亿曰兆之类。今立法从中数。［19］

　　这里明确规定，“今立法从中数”，即自亿以上，采取“万进制”。即万万曰亿、万亿曰兆、万兆曰京、……。其实这种“万进制”的中数法在古代典籍也是有所记载的，如郑玄注《礼记正义》：

　　后王命冢宰，降德于众兆民。后，君也。德，犹教也。万亿曰兆，天子曰兆民，诸侯曰万民。［20］

　　明代李时珍（1518—1593）著《本草纲目》（成书于1578年）也有万进制的记载：

　　桃性早花，易植而子繁，故字从兆，万亿曰兆，言其多也。［21］

　　虽有善祝，岂能胜亿兆人之诅。注，万万曰亿，万亿曰兆。［22］

　　综上所述，我国古代数学计数单位进制有十进制、万进制、百万进制、万万进制和自乘进制等不同的方法。用科学计数法表示如下表：

计数单位	十进制	万进制	百万进制	万万进制	自乘进制
一	100	100	100	100	100
十	101	101	101	101	101
百	102	102	102	102	102
千	103	103	103	103	103
万	104	104	104	104	104
亿	105	108	106	108	108
兆	106	1012	1012	1016	1016
京	107	1016	1018	1024	1032
垓	108	1020	1024	1032	1064
秭	109	1024	1030	1040	10128
壤	1010	1028	1036	1048	10256
沟	1011	1032	1042	1056	10512
涧	1012	1036	1048	1064	101024
正	1013	1040	1054	1072	102048
载	1014	1044	1060	1080	104096
极	1015	1048	1066	1088	108192
恒河沙	1016	1052	1072	1096	1016384
阿僧秪	1017	1056	1078	10104	1032768
那由他	1018	1060	1084	10112	1065536
不可思议	1019	1064	1090	10120	10131072
无量数	1020	1068	1096	10128	10262144

　　我国古代通用算盘一般为上二下五珠，也曾出现过上三下五珠算盘。如清代潘逢禧（生卒年月不详）的《算学发蒙》（成书于1882年）有如下记载：

　　盘以坚木为之。每杆用珠八，横梁下用五珠，横梁上用三珠。旧制上二下五，实不敷用，譬如八十九数，以九归之，歌诀九八下加八，次位有九数，再加八数共十七数，梁上二珠当十，梁下五珠当五，共只十五，不足二数，学者每遇此等，往往错误。兹于梁上多用一珠，似较适用。［23］

　　关于梁上四珠的算盘，目前为止仅子玉款算盘这一件，而且查遍古书典籍，都没有这方面的记载。那么梁上四珠算盘是如何使用的呢？关于这一点，在该算盘的左右边框上写得比较明确：

　　右边框：自亿以往，满百万则进位，中数也。百万曰亿，盘上格顺数第二轮珠儗之。

　　左边框：自亿以往，满万万则进位，大数也，万万曰亿，盘上格第一轮珠儗之。

　　这里的“儗”，古通“拟”。“拟”的本义为揣度，猜测。引申义有类似、比拟、效法、模仿、比划、打算等。查阅典籍，“打算”一词既有考虑、准备的意思，也有计算、核算的意思。如宋罗大经(1196—1252)撰《鹤林玉露》：

　　厥后蓄积稍羡，又尝有意用兵，祭酒芮国器奏曰：“陛下只是被数文腥钱使作，何不试打算了得几番犒赏。”上曰：“朕未知计也，待打算报卿。”后打算只了得十三番犒赏，于是用兵之意又寝。［24］

　　今宜打算官民所欠债负，若实为应当差发所借，宜依合罕皇帝圣旨，一本一利，官司归还。凡陪偿无名，虚契所负，及还过元本者，并行赦免。［25］

　　这以上两段话中的“打算”都是计算的意思。鉴于此，我们可以认为，子玉算盘上的“儗”，就是“计算”的意思，这也与算盘本身的功能相一致。

　　子玉款算盘上所标的这两句话，不仅交代了何为大数和中数，而且非常明确地说出“盘上格顺数第二轮珠”是计算中数所用的，“盘上格第一轮珠”是计算大数所用的。至于说具体如何计算，因史料有限，难以有结论，姑且存疑待考。

　　子玉算盘的制作者周懋琦本人一生充满着传奇（其生平另有专文介绍），而他制作与使用的这两把算盘也是充满不尽的奥秘。我们通过考证研究得出的结论也许有一定的道理，也许仍有疑议，更有存疑待考的地方，这也就是子玉算盘价值珍贵之所在。真诚地希望我们的研究能够得到各界专家的关注，以解决子玉款算盘所有的存疑，乃至于有更加科学、独到的发现。

［2］靖玉树主编《中国历代算学集成》卷上之汉徐岳撰《数术记遗》篇山东人民出版社　1993年9月

［3］(唐)李淳风注《孙子算经》（卷上·开篇）武英殿聚珍版　

［4］(清)陈梦蕾蒋廷锡主编《古今图书集成》之《历法典》第113卷算法部《谢察微算经》

［5］靖玉树主编《中国历代算学集成》卷上之元朱世杰撰《算学启蒙》篇“总括”　山东人民出版社　1993年9月

［6］(唐)道世撰《法苑珠林》卷第一之“第二大三灾时节部第二” 上海商务印书馆

［7］(战国)列寇撰《列子》之《天瑞》篇　西会山馆珍藏　光绪二十三年

［8］(明)柯尚迁撰《数学通轨》之《数原》篇　福州市珠算协会1994年9月影印

［9］(汉)班固撰《汉书》之《礼乐志》篇　中华书局　2007年8月

［10］靖玉树主编《中国历代算学集成》卷上之汉徐岳撰《数术记遗》篇　山东人民出版社　1993年9月

［11］靖玉树主编《中国历代算学集成》卷上之元朱世杰撰《算学启蒙》篇“总括”　山东人民出版社　1993年9月　

［12］(唐)释慧琳撰　《一切经音义》卷第二十七之“安乐行品”　江陵田氏鼎楚室刻本　民国13年　

［13］(唐)释法宝撰《俱舍论疏》卷第一下　江陵田氏鼎楚室刻本　民国13年　

［14］靖玉树主编《中国历代算学集成》卷上之汉徐岳撰《数术记遗》篇　山东人民出版社　1993年9月

［16］(宋)朱熹撰《诗经集传》卷之五“鼓钟四章章五句”　金陵书局光绪二十二年　

［17］李俨《敦煌石室立成算经》卷一“序”　《北平图书馆图书季刊》新第一卷第四期，1939年12月

［18］谈春蓉　李锐《＜毛诗正义＞的注疏成就》《文学教育》2007年第8期

［19］(清)梅珏成主编《御制数理精蕴》下编“算术”　文海书局石印本　光绪二十二年（1896年）

［20］(汉)郑玄注《礼记正义》卷二十七“内则”第十二　上海古籍出版社　2008年9月第1版

［21］(明)李时珍著《本草纲目》之《果部》上海图书集成印书局光绪二十年

［22］李索《敦煌写卷＜春秋经传集解＞校正》中国社会科学出版社　2006年8月

［24］(宋)罗大经撰《鹤林玉露》丙编卷四　中华书局出版 1983年8月

［25］(元)宋濂、王濂主编《元史》之《刘秉忠传》中华书局 1997年7月